Доп главы алгебры

16 подписчиков

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу “Дополнительные главы алгебы (для магистров)” (2006-2007 у.г.) 1. Алгебраические структуры. Группоид. Полугруппа. Моноид. Примеры и упражнения. 2. Группа. Абелева группа. Примеры и упражнения. 3. Кольцо. Коммутативное кольцо. Кольцо с единицей. Примеры и упражнения. Алгебры. Теорема о простейших свойствах колец. 4. Множество R* кольца R. Теорема о групповой структуре R*. 5. Поле. Примеры. Теоремы о полях Галуа (без доказательства). 6. Порождающие множества. Подструктуры. Примеры и упражнения. Лемма о пересечении подгруппоидов. Лемма о . Лемма о представлении . Конечно порожденные группоиды. 7. Гомоморфизмы, мономорфизмы, эпиморфизмы, изоморфизмы, эндоморфизмы, автоморфизмы. Примеры и упражнения. 8. Конгруэнция. Лемма о фактор-группоиде. 9. Косы. Группа кос. 10. Алфавит и полугруппа слов. Соотношения в полугруппе слов. Тривиальные соотношения. Элементарные преобразования. S-эквивалентность. 11. Теорема об эквивалентности по системе соотношений. Следствие. Понятие о группе . 12. Лемма о =. 13. Понятие об эквивалентности систем соотношений. Теорема. Лемма об элементарных эквивалентностях. Приведенные соотношения. Лемма о приведенных соотношениях. 14. Нормальные делители. Фактор-группы. Теорема Дика (схема доказатедьства). 15. Прямое произведение групп. Теорема. 16. Соотношения между элементами группы. Лемма о копредсталении группы. Понятие о системе соотношений группы в системе образующих. 17. Понятие о задании группы. Теорема о задании группы. 18. Лемма о задании конечной группы. Задание циклической группы. 19. Задание группы Sn. Теорема. Вспомогательная лемма. Доказательство теоремы. 20. Свободная группа. Теорема об изоморфизме. Задача о доказательстве. Теорема об универсальности свободных групп. 21. Преобразования Титце. Две леммы о преобразованиях Титце. 22. Теорема Титце. Доказательство достаточности. 23. Фундаментальные проблемы Дэна. Современное состояние.